高中数学周期性常用结论!周期性函数知识点归纳

高考数学中常有关于函数周期性和对称的问题,大部分学生觉得很难,有时学生们见到周期问题无从下手,下面小编整理的关于高中数学周期性常用结论,以及周期性函数知识点归纳,有需要的小伙伴收藏起来吧。

  • 函数周期性的定义

函数周期性的定义:若存在一非零常数T,对于定义域内的任意x,都有f(x)=f(x+T) 恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。

函数的周期性同样可以从“形”的角度理解,在f(x)的图像中,任意两点(x,f(x))和(x+T,f(x+T)),横坐标方向上距离相差T的两个点,它们的纵坐标方向等高,即函数的图像会重复出现,因此函数具有一定的周期性,且函数的周期为T。

  • 函数周期性重要说明

(1) 周期函数的定义域一定是无限集;

(2) 由周期函数的定义可知,0不能作为函数的周期;

(3) 如果T是f(x)是它的一个周期,那么-T也是f(x)的周期,即周期可以为负值;

(4) 如果T是f(x)是它的一个周期,那么nT也是f(x)的周期,即周期函数有无数个周期;

(5) 如果f(x)为周期函数,且所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期;

(6) 周期函数f(x)不一定含有最小正周期,如常数函数,它的周期为任意实数;

  • 周期函数常见的重要结论

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对结论1进行证明:

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对结论2进行证明:

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对结论3进行证明:

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对结论4进行证明:

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对结论5进行证明:

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对结论6进行证明:

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对结论7进行证明:

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  • 函数对称性

函数对称性的最突出的作用为“知一半而得全部”,即一旦函数具备对称性,则只需分析函数一侧的性质即可,从而得到整个函数的性质。主要体现在以下几点:

(1) 函数的定义域关于对称轴或者对称中心对称;

(2) 可利用对称性求得某些点的函数值;

(3) 在作图时,只需要作出一侧的图像,另外一侧利用对称性即可画出;

(4) 极值点关于对称轴或者对称中心对称;

(5) 在轴对称的函数中,关于对称轴对称的两个单调区间的单调性是相反的;在中心对称的函数中,关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同。

  • 轴对称

函数轴对称的定义:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。

轴对称常见的形式:

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备注:对结论①,如果a=0时,则f(x)关于x=0对称 ,则此时f(x)为偶函数

下面只对结论③进行证明:

从“数”的角度证明:

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从“形”的角度证明:

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  • 中心对称

函数中心对称定义:

如果一个函数的图像沿一个点旋转180°,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。

中心对称常见的形式:

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备注:对结论①,如果a=0时,则f(x)关于原点对称,则此时f(x)为奇函数

下面只对结论③进行证明:

从“数”的角度证明:

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从“形”的角度证明:

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  • 函数对称性与奇偶性的关系

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对结论①进行证明:

从“数”的角度进行证明:

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备注:要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反

从“形”的角度进行证明:

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对结论②进行证明:

从“数”的角度进行证明:

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备注:要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等

从“形”的角度进行证明:

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  • 函数周期性与对称性的关系


函数周期性与对称性的关系的重要结论

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  • 周期性和对称性的快速判定

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快速判定口诀:内同(符号)表示周期性;内反表示对称性;

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对结论①进行证明:

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对结论③进行证明:

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由于奇、偶函数同样具有对称性,因此根据上述结论还可得如下关系:

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